阶数为5,6,14,15的循环群的生成元分别有多少个

发布网友 发布时间：2022-04-26 02:43

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热心网友 时间：2022-06-06 15:29

解： 

设a是阶数为5的循环群的生成元，因在比5小的正整数中有且仅有2，3，4与5互质，所以a4,a3,a2也是生成元，因此生成元个数为4。 

设a是阶数为6的循环群的生成元，因在比6小的正整数中有且仅有5与6互质，所以5a也是生成元，因此生成元个数为2。

设a是阶数为14的循环群的生成元，因在比14小的正整数中有且仅有3，5，9，11，13与

14互质，所以a13,a11,a9,a5,a3,也是生成元，因此生成元个数为6。

设a是阶数为15的循环群的生成元，因在比15小的正整数中有且仅有2，4，8，11，13，14与15互质，所以a14,a13,a11,a8,a4,a2,也是生成元，因此生成元个数为7。

扩展资料

循环群的性质有以下：

一.定理1

设(a)是—个循环群，

(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；

(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。

证(1)|a|=∞，则当m≠n时，

am≠an，(a)={…，a-2，a-1，e，a1，a2，…}。

于是令 φ：(a)→Z，am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射，且

φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an)，

故φ是(a)到Z的一个同构映射，所以(a)≌Z。

(2)设IaI=n，则(a)={e，a，a2，…，an-1}

令 σ：(a)→Zn，am→[m]。

若有m，m′∈Z，m′>m使得am=am'，则am'-m=e，而an=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Zn的—个映射。

又∀[0]≤[k]≤[n-1]，有ak∈(a)，使得[k]=σ(ak)，且若am≠am′，则σ(am)≠σ(am′)，同时∀am、am′∈(a)，

σ(am·am')=σ(am+m')

=[m+m′]=[m]+[m′]

=σ(am)+σ(am′)，

所以σ是(a)到Zn的一个同构映射，即(a)≌Zn。

二.定理2

有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的。

证已证1和-1可以作为整数加群Z的生成元，如果另有k是生成元，则(k)=(1)=Z，这时由1∈(k)={km,m∈Z}，即存在m∈Z，使1=km，于是k=m=±1，所以只有两个元1与-1可以作为整数加群Z的生成元。

若k∈Z，k≠0，则∀m，n∈Z，m≠n，有mk≠nk，所以IkI=∞

说明，有且仅有两个元a与a-1可以作为无限循环群(a)的生成元，在无限循环群(a)中除单位元的阶是1以外，其余元的阶都是无限的。

三.定理3

在模n的剩余类Zn中，有

(1)|[k]|=n/(k,n)

(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。

证 (1)由定理可得。

(2)若[k]∈Zn，则([k])⊆Zn，由(1)与(k，n)=1知|[k]|=n，所以|([k])|=n，Zn=([k])

反之，设[k]是Zn的生成元，有([k])=Zn，所以|([k])|=n，由(1)知(k，n)=1。

此定理说明|(a)| =n时，(ak)=(a)<=>(k，n)=1。

参考资料来源：百度百科--循环群

热心网友 时间：2022-06-06 15:30

热心网友 时间：2022-06-06 15:30