利用初等变换求矩阵的逆矩阵

发布网友 发布时间：2022-04-26 00:07

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好二三四 时间：2022-09-05 10:31

初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

热心网友 时间：2023-10-14 18:27

初等变换求，就是利用原矩阵旁边放一个单位矩阵，原矩阵怎么变，单位矩阵怎么变。当左边原矩阵变成单位矩阵时，右边就是原矩阵的逆矩阵。

初等变换的规则：先把左上角元素变成1，把第一列元素除去第一个都变成零，依次把主对角线下方元素变成零，就成功了。

扩展资料：

用初等变换求逆矩阵只要方法正确，加上有耐心，不需要技巧，程式化地一步一步做下去，就会得到结果。

在要求逆的n阶矩阵右边写一个n阶单位阵，然后对这个n×2n阶矩阵按下面程式进行行初等变换（不能作列初等变换）：

将第一行第一列元素化为1，将第一列其余元素化为0；

将第二行第二列元素化为1，将第二列其余元素化为0；

…………

将第n行第n列元素化为1，将第n列其余元素化为0。

这时只要把右边的n阶方阵写下来，就是所要求的逆矩阵。

热心网友 时间：2023-10-14 18:27

我觉得授人以鱼不如授人以渔
怎么用初等变换求逆矩阵呢，是这样的：
初等变换相当于对原矩阵左乘或者右乘一个经过相同变换的E矩阵（单位矩阵）
这是书上的定义，看不太懂那就举个例子
对于某个矩阵
1 2 3
4 5 6
7 8 9
对换前两行
4 5 6
1 2 3
7 8 9
相当于左乘一个经过同样变换的单位阵
即
0 1 0
1 0 0
0 0 1
由此可以看出，矩阵实际表示的是元素中的数量关系
用比较抽象的概念理解就叫做秩
扯远了，回到原题
由多元一次方程的解法
A1X1 + A2X2 +A3X3 = A4
B1X1 + B2X2 +B3X3 = B4
C1X1 + C2X2 +C3X3 = C4
一般都写出系数与答案组成的合同矩阵来求解
即
A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4
这时只需要用初等矩阵变换把他化为阶梯矩阵就可以得出答案
按照矩阵的表达就是
AX =B
AB 化为最简型就是就得出了X的通解
通过最开始提到的矩阵变换可以看作左乘或者右乘单位阵，加上这里的求解方法
那么 A A^-1 = E怎么求出A^-1呢
就是 AE ~ EA^-1 通过初等变换把A变化成E后面带的E就会得出答案A^-1
那么下面就来做做你的这道题目
-2 1 0
1 -2 0
0 1 2
AE =
-2 1 0 1 0 0
1 -2 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1
初等变换第一行*1/2加到第二行
-2 1 0 1 0 0
0 -3/2 0 1/2 1 0
0 1 2 0 0 1
第一行乘以-1/2 第二行*-1/3加到第一行
1 0 0 5/6 -1/3 0
0 -3/2 0 1/2 1 0
0 1 2 0 0 1
第二行*-2/3
1 0 0 5/6 -1/3 0
0 1 0 -2/6 -2/3 0
0 1 2 0 0 1
第二行*-1加到第三行，第三行乘以1/2
1 0 0 5/6 -1/3 0
0 1 0 -1/3 -2/3 0
0 0 1 1/6 1/ 3 1
到此 A,E~E,A^-1了
以上都是我口算得出的结果，不能保证正确，你可以用草稿纸按照这个思路自己计算一下

热心网友 时间：2023-10-14 18:28

简单分析一下，答案如图所示

热心网友 时间：2023-10-14 18:28

初等变换求，就是利用原矩阵旁边放一个单位矩阵，原矩阵怎么变，单位矩阵怎么变。当左边原矩阵变成单位矩阵时，右边就是原矩阵的逆矩阵。
初等变换的规则：先把左上角元素变成1，把第一列元素除去第一个都变成零，依次把主对角线下方元素变成零，就成功了。哈哈哈