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“定弦定角”模型延伸思考

2023-05-26 来源:好兔宠物网
“定弦定角”模型延伸思考

【前情回顾】

若在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积最大(如图所示)

【问题呈现】

试确定点C的位置,使得△ABC周长最大

分析点C位置: ∵AD为直径 ∴∠ABD=90°

∴∠D+∠A=90°,∠CBD+∠ABC=90° ∵CD=CB ∴∠D=∠CBD ∴∠A=∠ABC 则CA=CB

故点C运动到所在弧中点时,△ABC周长最大 【得出结论】

在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积与周长取得最大值(即△ABC是以点C为顶点的等腰三角形)

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【典例赏析】

(1)已知△ABC中,AB=6,∠C=90°,求△ABC周长的最大值. 解析:由结论得:当CA=CB时,△ABC周长最大 ∵AC=BC=∴

(2)已知△ABC中,AB=6,∠C=60°,求AC+

的最大值.

解析:利用推导过程的“折化直”思想延长AC至D,使得CD=AD为直径时取得最大值,故∠ABD=90°

此时AC+转化为AD,当

设CD=x,则BC=2x ∴CE=BC∴DE=2x ∵∴则AE=

(射影定理) 2x ,BE=

在Rt△ABE中,解得:x=

∴AD=AE+DE=故

=AD=

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【练习巩固】取材于刘东升老师挑战题

如图1,点A、B、C在一直线上,在同侧作等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD交于P,将△ACE绕点A逆时针旋转(0(1)求证:BE=CD. (2)求∠BPC的度数. (3)连接AP

①试说明AP平分∠DPE.

②若AB=4,在旋转过程中,求△ADP面积及周长的最大值.

)(如图2所示),利用图2解决下列问题:

【延伸思考】

如图,AB为半圆O的直径,AB=4,点P为半圆O上一动点,过点P作PQ⊥AB,求PQ+3AQ的最大值.

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