“定弦定角”模型延伸思考
【前情回顾】
若在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积最大(如图所示)
【问题呈现】
试确定点C的位置,使得△ABC周长最大
分析点C位置: ∵AD为直径 ∴∠ABD=90°
∴∠D+∠A=90°,∠CBD+∠ABC=90° ∵CD=CB ∴∠D=∠CBD ∴∠A=∠ABC 则CA=CB
故点C运动到所在弧中点时,△ABC周长最大 【得出结论】
在△ABC中,设定边AB=m,所对定角∠C=,当点C运动至所在弧中点位置时,△ABC面积与周长取得最大值(即△ABC是以点C为顶点的等腰三角形)
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【典例赏析】
(1)已知△ABC中,AB=6,∠C=90°,求△ABC周长的最大值. 解析:由结论得:当CA=CB时,△ABC周长最大 ∵AC=BC=∴
(2)已知△ABC中,AB=6,∠C=60°,求AC+
的最大值.
解析:利用推导过程的“折化直”思想延长AC至D,使得CD=AD为直径时取得最大值,故∠ABD=90°
此时AC+转化为AD,当
设CD=x,则BC=2x ∴CE=BC∴DE=2x ∵∴则AE=
(射影定理) 2x ,BE=
在Rt△ABE中,解得:x=
∴AD=AE+DE=故
=AD=
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【练习巩固】取材于刘东升老师挑战题
如图1,点A、B、C在一直线上,在同侧作等边△ABD与等边△ACE,连接BE、CD交于P,将△ACE绕点A逆时针旋转(0(1)求证:BE=CD. (2)求∠BPC的度数. (3)连接AP
①试说明AP平分∠DPE.
②若AB=4,在旋转过程中,求△ADP面积及周长的最大值.
)(如图2所示),利用图2解决下列问题:
【延伸思考】
如图,AB为半圆O的直径,AB=4,点P为半圆O上一动点,过点P作PQ⊥AB,求PQ+3AQ的最大值.
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