(完整版)图形变换知识点练习题汇总

一、 知识点总结

（一）平移

关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向. 1 、平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等， 2 、简单作图

？对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等） .

平移的作图主要关注要点： 1•方向2 •距离•整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平 行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的. （二八旋转

1 、定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，

关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向. 2 、旋转的规律

？这样的图形运动称为旋转.

经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

3、简单的旋转作图：

旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度.主要分四步：边、转、截、连.旋

转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改 变的，即对应点与旋转中心距离相等. （三）、轴对称

1、 定义

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称， 该直线叫做对称轴。

2、 性质

（1） 关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2） 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3） 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 3、 判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4、 轴对称图形

把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称 这条直线就是它的对称轴。 （四） 、中心对称

1定义

把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中 心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、 性质

（1） 关于中心对称的两个图形是全等形。

（2） 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、 判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、 中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转 180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个店就是它的对称中心。 （五） 、坐标系中对称点的特征

1、 关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点 2、 关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点 P（x，y）关于x轴的对称点为P'（x， -y）

3、 关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为 P'（ -x， y）

（六）、视图与投影

P（ x，y）关于原点的对称点为 P' （-x，-y）

图形,

1、试图 ①主视图 ②左视图 ③俯视图

从正面看到的图 从左面看到的图 从上面看到的图

注：长对正 ,高平齐，宽相等• 2、虚实

在画图时，看的见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线 3 、①物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象•

② 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影 ③ 在同一时刻，物体高度与影子长度成比例 ④ 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线

•

（垂直于投影面的平行光线）下的平行投影•

，像这样的光线所形成的投影称为中

⑤ 探照灯，手电筒，路灯，和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线 心投影•

⑥ 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子 ⑦ 像眼睛的位置称为视点• ⑧ 由视点出发的线称为视线• ⑨ 两条视线的夹角称为视角 ⑩ 看不到的地方称为盲区•

•

二、相关题型

例1、如下图所示，△ ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△ CDF找出图中存在的平行且相等的三条线段和 一组全等三角形•

F面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质

分析：因为△ CDF是由厶ABE平移得到的，所以要找图中平行且相等的线段，根据平移的基本性质，需找出平移前 后图形的对应点；要找出一组全等三角形，可根据平移的特征：“平移不改变图形的形状和大小”得到 解：如图，点 A B、E的对应点分别为点 C D F,因为经过平移，对应点所连的线段平行且相等，所以：

AC//

BD// EF, AC=BD=EF

平移不改变图表的形状和大小，所以：

△ ABE^A CDF.

例2、钟表的分针匀速旋转一周需要 60分.

⑴指出它的旋转中心;

(2)经过20分，分针旋转了多少度？

分析：经演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟表的轴心旋转的，它旋转一周时 的度数是360° , 一周需要60分，因此每分钟分针所转过的度数是

解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心 •

(2)分针匀速旋转一周需要 60分，因此旋转20分，分针旋转的角度为 36^ X 20= 120 ° .

6°，这样20分时，分针逆转的角度即可求出

60

例3、如图，△ ABC绕O点旋转后，顶点 A的对应点为点 D,试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角 形•

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操 作•

假设顶点B、C的对应点分别为点 E、点F,则/ BOEZ COFZ AOD都是旋转角•

△ DEF就是厶ABC绕点O

旋转后的三角形•根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即 旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则/

BOE/COFZ AOD OE=OB Of=OC这样即可求作出旋转后的图形 •

要注意

［师］通过分析知道如何作出厶 DEF现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋转后的图形作出来， 把痕迹保留下来•

解: (1)连接 OA OD OB OC

(2) 如下图，分别以 OB OC为一边作Z BOE / COF使得Z BOEZ COFZ AOD (3) 分别在射线 OE OF上截取 OEOB OF=OC

⑷连接EF ED FD

△ DEF就是△ ABC绕O点旋转后的图形

E

D

例 4.在五边形 ABCD中，AB=AE BGDE=CD / ABC/AED180° 求证：AD平分/ CDE

分析：要证：AD平分/ CDE则需证/ ADC/ ADE而/ ADC是在四边形 ABCD中,/ ADE是在厶ADE中，且已知:

BQDE=CD AB=AE / ABC/ AED180。，这时想到，连结 AC将四边形 ABC另成两个三角形，把△ ABC绕A点旋转

/ BAE的度数到厶AEF的位置，这时可知 D E、F为一直线，且△ ADCW^ ADF是全等的，因此命题即可证得 .

结果：如图，连结 AC将厶ABC绕点A旋转/ BAE的度数到厶AEF的位置，因为 AB=AE所以AB与 AE重合. 因为/ ABC/ AED=180°,且/ AE匡/ABC 所以/ AEF+/ AED180° .所以 D E、F三点在一直线上，AC=AF BC=EF 在厶ADCW^ ADF中

DF=DEHEF=DEHBC=CD AF=AC AD=AD

所以,△ ADC^ ADFSSS 因此，/ ADC/ ADF 即：AD平分/ CDE

例5、如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为 A (0,1 ), B (-1,1 ), C (-1,3 )。 (1) 画出△ ABC关于x轴对称的厶ABG，并写出点 C的坐标；

(2) 画出△ ABC绕原点0顺时针方向旋转 90°后得到的厶AaBaCa，并写出点 G的坐标；， (3) 将厶AB2C2平移得到厶 AsB^Cs，使点A2的对应点是 As,点B2的对应点是 R

，点C2的对应点是C3 ( 4,-1 ),在坐标系中画出厶 A3RC3，并写出点 A B3的坐标。

【答案】

(1) C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)

例6、将三角形纸片 ABC(AB>AC沿过点A的直线折叠，使得 AC落在AB边上，折痕为AD,展平纸片(如图1); 再次折叠该三角形的纸片，使得点

A与点D重合，折痕为EF,再次展平后连接 DE DF (如图2),证明：四边形

AEDF是菱形。

【答案】证明：•••三角形纸片 ABC(AB>AC沿过点A的直线折叠，使得 AC落在AB边上，折痕为AD

•••/ BAD=Z CAD

又•••点A与点D重合，折痕为 EF,设EF和AD交点为M • ADL EF, MD=MA

•••/ AME=Z AMF= 90°

在厶 AEMFHA AFM中，/ BAD=Z CAD /AME=Z AMF= 90°

AM=AM

•••△ AEM2A AFM ••• MEMF

又••• ADL EF, MD=MA

•四边形AEDF是菱形。

例7、在厶ABC中,AB=BC=2,/ ABC=120,将厶ABC绕点B顺时针旋转角a (0< a <120°,得厶ABG，交AC于点E, AC分

别交AC、BC于D F两点. (1)

关系？并证明你的结论;

(2)

如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA与FC有怎样的数量

如图②，当 =30。时，试判断四边形 BCDA的形状，并说明理由；

(3)在(2)的情况下，求 ED的长.

图②

【答案】(1)EA FC ;提示证明 ABE (2)①菱形(证明略)

(3)过点 E 作 EGL AB,则 AG=BG=1

在 Rt AEG 中，AE -A2

— 2 J

cos A cos30° 3

3

1

CiBF

由(2)知 AD=AB=2 • ED AD AE 2 2 ,3

例8如图，将正方形 ABCD中的厶ABD绕对称中心 O旋转至△ GEF的位置，EF交AB于M GF交BD于N.请猜想BM

与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.

〔第丄9题團）

【答案】猜想：BM=FN

证明：在正方形 ABCD中, BD为对角线，0为对称中心

••• BO=DO，/ BDA玄 DBA=45

•••△ GEFABD绕0点旋转所得

• FO=DO, / F=Z BDA • OB=OF / OBMN OFN

在△ OMB^n^ ONF中

• △ OBMPA OFN

• BM=FN

平移旋转与对称

OBM OBBOM

OFNOF FON

一、 填空题（每小题 3分，共24分）

1. 图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是 _____________ . 2. 经过平移，对应点所连的线段 ______________ . 3. 经过旋转，对应点到旋转中心的距离 ______________ . 4. △ ABC平移到△ A B' C'，那么 SAABC _____ S\\A B，C .

5. 等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少 _________ 度，能够与本身重合.

6. 甲图向上平移2个单位得到乙图，乙图向左平移 2个单位得到丙图，丙图向下平移 2个单位得到丁图，那么丁 图向 ______ 平移 _____ 个单位可以得到甲图.

7. 边长为4 cm的正方形ABCD绕它的顶点 A旋转180°,顶点B所经过的路线长为 __________cm. 8.9点30分，时钟的时针和分针的夹角是 _________ .

二、 解答题（9、10小题每小题5分，11~21小题每小题6分，共76分）

9. 请画一个圆，画出圆的直径 AB分析直径 AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？

10. 作线段AB和CD且AB和CD互相垂直平分，交点为 0, AB=2CD.分别取OA OB OC 0D勺中点A'、B'、

C、D，连结 CA、DA、CB、DB、AC、AD、BC、BD得到一个四角星图案.将此四角星沿水平方 向向右平移2厘米，作出平移

前后的图形 .

11. 在下面的正方形中，以右上角顶点为旋转中心，按逆时针旋转一定角度后使之与原图形成轴对称

12. 过等边三角形的中心 0向三边作垂线，将这个三角形分成三部分.这三部分之间可以看作是怎样移动相互得到 的？你知道它们之间有怎样的等量关系吗？

13.如图，有一池塘，要 测池塘两端 A B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达

和B的点C,连结AC并延长到D,使Ct=CA连结BC并延长到E,使CE=CB连结DE那么量出DE的长，就是 A、

B的距离，为什么？线段 DE可以看作哪条线段平移或旋转得到 .

14.

0,作出线段AB绕点0旋转180。后所得的线段 画线段AB在线段AB外取一点A B .请指出AB和 A

B'的关系，并说明你的理由.

15. 如图，四边形 ABCD是平行四边形. (1) 图中哪些线段可以通过平移而得到； (2) 图中哪些三角形可以通过旋转而得到

16. 同学们用直尺和三角板画平行线，这种画平行线的方法利用了怎样的移动？由此我们得出了什么结论?

17. 如图，△ ABG!过平移得到△ ECD请指出图形中的等量关系

18. 请你指出厶BDA1过怎样的移动得到△ CAE

占

19. 如图，你能说明△ ABC通过怎样的移动可以得到厶 BAD马?

”利用平移设计一组有意义的图案，完成后与同学进

行交流•

21. 由一个半圆（包含半圆所对的直径）和一个长方形组成一个“蘑菇”图形，将此图形作为“基本图形”经过 两次平移后得到一组图案•这样的图案是否可作为公园中“凉亭”的标志呢？请你设计一下这个标志

22、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位的正方形，Rt △ ABC的顶点均在格点上，在建立平面

直角坐标系后，点 A的坐标为（一6, 1）,点B的坐标为（一3, 1）,点C的坐标为（一3, 3）.

⑴将Rt△ ABC沿 x轴正方向平移5个单位得到 Rt△ ABC，试在图上画出 Rt△ A1B1C的图形，并写出点 A的坐 标.

⑵将原来的Rt△ ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△ ABC2，试在图上画出 Rt△ ABC2的图形

C / A B 1 一 10 1 x

第13题图

23、如图(十)将矩形纸片 ABCD& EF折叠，使点 A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕 (1) 求证：△ FGC^A EBC

(2) 若AB= 8, AD= 4，求四边形ECG(阴影部分)的面积.

图(十)

24、推理证明如图，在△ ABC^D^ ADE中，点 E在BC边上，/ BAC玄DAE / B=Z D, AB=AD.

(1) 求证：△ ABC^A ADE

(2) 如果/ AEC=75，将△ ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ ABC重合，求这个旋转角的大小

单元测试参考答案

一、 1.图形的形状、大小不变，只改变图形的位置 2. 平行且相等 3.相等4.等于5.120 6. 右2 7.4 n 8.105

二、 9.绕圆心旋转180°或以直线 AB为对称轴翻折10~11.略 12. 旋转120°,它们是全等四边形，面积相等，对应线段、对应角相等 13. △ ABC^A DCEAB=DE线段DE可看作 AB绕点0旋转180。得到

14. AB// A' B',且 AB=A' B' , △ AOB^A A' OB

15. (1) AB和 DC AD和 BC (2)A AOB^A COD △ BO(和BA DOA^ ABC和 16. 平移，平行公理：同位角相等两直线平行

17. AB=ECAC=EDBC=CD Z A=Z E, Z B=Z ECDZ ACBZ D Z A=Z ACE

18. △ BDA先绕点A逆时针旋转，使 DA和AB在一条直线上，然后再以过 A点垂直AB的直线为对称轴作它的 对称图形.(或将△ BDA绕点A顺时针旋转Z CAB再以AE为对称轴翻折)

19. 先将△ ABC沿直线AB向左平移，使点 B与点A重合，然后再以过 A点且垂直于 AB的直线为对称轴翻折 20~21.略 22

、【答案】

△ CDA △ ABD^RA CDB

A (- 1, 1)

23、 【答案】

解：(1)： AB// CD •••/ CFE=Z FEA 又 Z CEF=Z FEA • Z CEF=Z CFE

• EC=FC

• △ FGC^^ EBC

=16

在直角 AFGC和直角△ EBC 中，EC=FC BC = AD= GC

AE DF AD

(2 )由(1)知，DF=GF=BE所以四边形 ECGF勺面积=四边形 AEFD勺面积=

2 24、 【答案】(1)vZ BAC=Z DAE AB=AD Z B=Z D, • △ ABD^A ADE. (3 分)

(2)TA ABC^A ADE

• AC与AE是一组对应边，

•Z CAE的旋转角，(4分)

•/ AE=AC Z AEC=75 , • Z ACE=/ AEC=75 ,

(5 分)

(6分)

• Z CAE=180 — 75°— 75° =30

视图与投影练习题

•选择题：（每小题5分，共25分）

1 •小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是

A

正

2. 在同一时刻，身高 A、

D

1.6m的小强的影长是 1.2m，旗杆的影长是15m,则旗杆高为

18m C

20m D

22m

16m B

3. 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子A.

相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定

4. 小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之

他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那

么影子最长的时刻为

A. 上午12时 B. 上午10时 C. 上午9时30分 D. 上午8时

5. 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面

那些矮一些的建筑物后面去了。这是因为 A

汽车开的很快 B 盲区减小 C 盲区增大 无法确定

二.填空题：（每小题5分，共25 分）

6. 小明希望测量出电线杆 AB的高度，于是在阳光明媚的一 天，他在电线杆旁的点 D处立一标杆CD使标杆的影子 DE 与电线杆的影子

BE部分重叠（即点E、

C、A在一直线上）， 则电线杆AB长

量得 ED- 2 米，DB= 4 米，CD- 1.5 米,

7 .将一个三角形放在太阳光下，

它所形成的投影

&举出生活中类似锥体的实物

。（两个）；

9.如图，一几何体的三视图如右： 那么这个几何体是 ________________ ; ------ 10 .一个三棱锥的俯视图是 ____________ ; 主视图

左视图

三. 解答题：（每踢10分，共50分）

11•确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子；

12 .画出下面实物的三视图:

13 •为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

实践：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离 树（AB） 8.7米的点E处，然后沿着直线 BE后退到点D这是恰好在镜子里看到树梢顶点 A,再用皮尺量得米，观察者目高 Ct=1.6米，请你计算树（AB的高度.（精确到0.1米）

A

14 .立体图形的三视图如下，请你画出它的立体图形:

主视圏

左视图 俯视图

15 .已知，如图8, AB和DE是直立在地面上的两根立柱 .AB=5m某一时刻 AB在阳光下的投影 BC=3m.

2.7

DE=

(1)请你在图8中画出此时DE在阳光下的投影;

(2)在测量AB的投影时，同时测量出 DE在阳光下的投影长为6m请你计算DE的长

D

A

视图与投影练习题参答案： 考

一.选择题：(每小题 J分C共25E 分)

'■'n* *■

'■ M'K'a\" ■

1 . C; 2 . C; 3 . B; 4 .图);8 5 . C; 二•填空题：(每小题5分，共25 分) 6. 4.5米；

7. 三角形或一条线段； &金字塔、四棱锥屋顶等； 9.空心圆柱；12 .略;

10.;

13 .解：实践一：由题意知 11.

灯泡

10题

小

/ CED/ AEB / CDE / ABERt /

•••△ CEDo^ AEB

,CD AB

1.6 AB

8.7

DE BE \" 2.7

• AB^ 5.2 米 14略; .

15解: .

D

(1) A

■nn

BmmMnHwwnH B .. n^nnvm

L

1

1.

LE

h. * * 1

电

1 F

(连接AC过点D作DE/ AC交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影)

(2)v AC/ DF, •••/ ACB/DFE •// ABC/ DEf=90°A^ AB(O^ DEF

AB BC DE EF DE 6.

••• DE=10 (m).

，

5 3

中考题型

1、如图，Rt△ AB C是由Rt△ ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结 CC交斜边于点E, CC的延长线交BB于

点F.

(1) 证明：△ ACE^A FBE (2)

设/ AB(= ，/ CAC =，试探索 、 满足什么关系时，△ £与厶FBE是全等三角形，并说明理

由.

B'

【答案】

（1）证明：••• Rt △ AB C是 由Rt △ ABC绕点A顺时针旋转得到的,

• AOAC , AB=AB，/ CAB：/ C AB ........................ （

1 分）

•••/ CAC =/ BAB

•••/ ACC =/ ABB ......................................................... （

3 分）

又/ AE（=Z FEB

•••△ ACE^ FBE

.............................................. （ 4 分）

（2）解：当

2 时，△ ACE^A FBE ........................ （ 5 分）

在厶 ACC中，••• ACAC ,

ACC'型匹竺

2 2

90

（6分）

在 Rt △ ABC中, / AC（+/ BCE=90°,即卩

BCE 90 ,

90

人。

B

F

C'

B'

:丄 BCE=

•••/ ABC/ BCE

(8 分)

• CE=BE

由(1)知：△ ACE^A FBE

• △ ACE^A FBE .............................. (

9 分)

2、 如图 1, Rt△ ABC^ Rt△ EDF / ACB/ F=90°,Z A=/ E=30°.A EDF绕着边 AB 的中点 D 旋转，DE, 分别交线段.AC于点M K

(1)观察： ①如图 2、图 3,当/ CDF0° 或 60° 时，AMC _________ MK填“〉” “<”或“=”). ②如图 4,当/ CDI=30° 时，AM+CK MK只填“ >”或“ <”). (2)猜想：如图1,当0°

时，AMCK MK证明你所得到的结论.

(3)如果 MK2 CK2

AM2，请直接写出/

CDF的度数和的值.

AM

图1

B

图4

(第 23题)

(2)>

证明：作点C关于FD的对称点 连接GK GM GD

贝U CD=GD , GK = CK,/ GDK/CDK •/ D是 AB的中点，• AD=CD=GD

A 30°，•/ CDA120°,

DF

•••/ EDf=60°,「./ GDMZ GDK60°,

/ ADM/ CDK=60 °.

•••/ ADM/GDM

•••DIMDM

• △ ADIW^ GDM •- GIMAM

•/ GMGK> MK「・ AMCK> MK (3)/ CDI=15°,

MK 3

.

AM 2

3、如图1,在平面直角坐标系中， O是坐标原点，DABCD勺顶点A的坐标为(-2 , 0)，点D的坐标为(0 , 2「3), 点B在x轴的正半轴上，点 E为线段AD的中点，过点 E的直线I与x轴交于点F,与射线DC交于点G

⑴求/ DCB勺度数；

(2) 当点F的坐标为(-4 , 0)时，求点G的坐标；

(3) 连结0E以0E所在直线为对称轴，△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF，记直线EF与射线DC的交点为

H

①如图2,当点G在点H的左侧时，求证：△ DE&A DHE

解：⑴在Rt△ AOD中,

•/ tan / DAOD° 2-3

. 3 ,

AO 2

••• / DAB60° .

•••四边形ABCD^平行四边形

•••/ DCBZ DAB=60°

⑵

•••四边形ABCDI平行四边形 • CD/ AB

•••/ DGEZ AFE

又•••/ DEG/ AEF DE=AE

•••△ DEG^ AEF

• DGAF

•/ AF=OF- OA=4-2=2 • DG=2

•••点G的坐标为(2 , 2.3)

(3)

① T CD/ AB

•••/ DGE/OFE

•••△ OEF经轴对称变换后得到△ OEF :丄 OFE/OF E

• / DGE/OF E

1

在Rt△ AOD中，T E是AD的中点 • O匡丄AD=AE

2

又T/ EAO6O°

• / EOA6O°, / AEO6O° 又T/ EOF =/ EOA6O° • / EOF =/ OEA • AD// OF • / OF E=/ DEH • / DEH/DGE

又T/ HDE/ EDG

•••△ DHNA DEG

②点F的坐标是F（ 尿

1, 0) , F2( 届 5, 0).

对于此小题，我们提供如下详细解答, 对学生无此要求

过点E作EML直线CD于点M

•••CD// AB

• / EDMZDABi§0°

• EM DE sin 60

2亟

2

S1

A EGH — GH ME

1 -G 3忑

2

2

H爲

• GH 6

•/△ DHE^A DEG

DE DH

2

•————即DE DG DH

H在点G的右侧时，设DG x , DH x 6

• 4 x(x 6) 解得：为 3

13,x2 3 - 13 (舍)

•/△ DEG^ AEF

• AF=DG= 3

13

•••OFAGAF= 3 .13

2 .. 13 1 •••点F的坐标为(.13

1, 0)

当点H在点G的左侧时，设DG x , DH x 6 • 4 x(x 6) 解得：x1 3

13,x2 3 . 13 (舍)

•/△ DEG^A AEF

• AF=D(=3

13

•/ OF=A(+AF=3 . 13 2

. 13 5

•点F的坐标为（13 5 , 0）

y

M iy C

/

/

X / /\\ /

A 7) B

X

DG DE

当点

综上可知， 点F的坐标有两个，分别是

F（ ..13 1 , 0） , F2（ 、13 5, 0）.

ABC △ ABC.

4、如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ / 4=Z 7=Z 2.

（图①）

将厶ABC^ ABC如图②摆放，使点A与B重合，点B在AC边的延长线上, 证：/ B C C=Z B BC

连接CC交BB于点E.求

（2）若将△ ABC △ A B C如图③摆放，使点B与B重合，点A在AC边的延长线上, 连接CC交A B于点F.试 判断/ Ai Ci C与/ Ai BC是否相等，并说明理由.

B(B1)

（3）写出问题（2 ）中与△ Ai FC相似的三角形 【答案】

（1 ）证明：由题意，知△ ABC^A A Bi C,

图③

/ 3=Z A=Z 1.

BC // AC

四边形ABCC是平行四边形. ............. 2分

AB// CC.

/ 5=Z 6,

/ BGC=Z BBC ............................................. 4 分

(2 )Z AQC =Z ABC

5分

理由如下：由题意，知△ AB7A ABC,

AB= ABi, BG=B(C / 1 = Z 8，/ A=Z 2.

图③

/ 3=/ A,Z 4=Z 7.

/ 1 + Z FBOZ 8+/ FBC

/ GBC=/ ABA ........................................... 7 分 / 4=1(180 ° -/ CB0，/ A=1 (180 ° -/ ABA . 2 2 / 4=/ A. / 4=/ 2. / 5=/ 6,

/ AGC=/ ABC ................................................................................................... 9 分 (3)△ CFB ................ 10 分； △ ACB,A ACB ................... 11 分(写对一个不得分)

5、如图，已知正方形 OABCE直角坐标系xoy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点 0为坐标原点，等腰直 角三角

板OEF的直角顶点 0在坐标原点，E、F分别在OA 0C上，且0A= 4, 0E= 2，将三角板 OEF绕0点逆 时针旋转至

............................................. 8 分

OEF1,的位置，连接 AE、CF.

(1) 求证：△ AOE^A OCF (2)

存在某一位置，使得 不存在，请说明理由.

将三角板OEF绕0点逆时针旋转一周，是否

OE//CF,若存在，请求出此时 E点的坐标， 若

【答案】(1)证明：•••四边形 OAB(为正方形，••• 0C= 0A •••三角板 OEF是等腰直角三角形，. 0E = OF,又

三角板OEF绕0点逆时针旋转至 OEFi的位置时，/ AOH/ COF,「.A OAE^A OCF

(2)存在，T OEL OF,过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与 OF垂直，又当三角板 OEF绕0点逆时针 旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是O O的切线，又点C为O O外一点，过点C与OO相切的直线只有2条, 不妨设为

CF和CR,此时，E点分别在Ei和Ea点，满足 CF// OE, CF// OE,点切点Fi在第二象限时，点 Ei在第

OF1 1

一象限，在 Rt△ CFO中，OC= 4, OF= 2, cos / COF= 二—,AZ COF= 60°,「./ AOE= 60°,「.点 Ei 的横

OC 2

坐标为2cos60 ° = i,点Ei的纵坐标为2si n60 °= J3，二Ei的坐标为(i, J3 ),当切点F2在第一象限时，点

E2在第四象限，同理可求 E2 (i，—

此时点E的坐标分别为 Ei (i, 6、(i)操作发现

), •••三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得 OE/CF,

,3或者E2 (i, — ,3 ).

如图，矩形 ABCD中, E是AD的中点，将△ ABE沿 BE折叠后得到△ GBE且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长 交DC于点F,认为GF=DF你同意吗？请说明理由•

⑵问题解决

AD

保持⑴中的条件不变，若 DC=2DF求——的值•

AB

(3)类比探究

AD

保持(1)中的条件不变，若 DC=n・DF,求一一的值.

AB

【答案】(i)同意•连接 EF,则Z EGF= Z D=90° ,EG= AE= ED EF = EF

• Rt△ EGFB Rt △ EDF • GF= DF

(2)由(i)知，GF= DF 设 DF= x , BC= y，则有 GF= x, AD= y.

■/ DC= 2 DF • CF= x , DC= AB= BG= 2 x , •• BF = BG + GF = 3x.

在 Rt△ BCF中，BCf+cF = BF 2 .即 y2+x2=(3x) • •• y = 2、.2X ,二匹=工=、2

AB 2x

(3)由(1)知，GF= DF 设 DF= x, BC= y，则有 GF = x , AD = y. T DC= n • DF 二 DC= AB= BG = nx.

••• CF = (n-1) x, BF = BG + GF = (n+1) x.

在 Rt△ BCF中，BC+CF = BF,即卩 y2+[( n-1)x]2=[( n+1)x]2

• y = 2 .nx, •

AD y 2 .n

=丄= AB nx n 2 (或—)

Jn

7、阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中

一

，任意两点P(X1, y”、QX2,

X1 + X2 y1 + y2

—,

—).

y2)的对称中心的坐标为(

观察应用： (1)

如图，在平面直角坐标系中，若点

P(0，- 1)、P2(2 , 3)的对称中心是点 A则点A的坐标为 _____________ ;

(2) 另取两点B( — 1.6 , 2.1)、C( — 1 , 0).有一电子青蛙从点 R处开始依次关于点 A、B、C作循环对称跳 动，即第一次跳到点 P关于点A的对称点R处，接着跳到点 P2关于点B的对称点F3处，第三次再跳到点

3

P

关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点 为 __________ , __________ ； 拓展延伸：

(3)求出点F2012的坐标，并直接写出在 X轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标

.

F4关于点A的对称点P5处，….贝U P3、P8的坐标分别

【答案】解：设 A P3、P4、…、Pn点的坐标依次为(x, y)、(X3, y3)、(X4, yj、…、(xn, yj( n》3,且为正 整数).

(1) P(0

0+2

1)、P2(2 , 3),

—1+3

=

…x = —2- =1, y

二A (1, 1).

2

=1，

(2)・.•点P3与F2关于点B成中心对称，且 B( — 1.6 , 2.1), 匕_ 16巴=21 2 2

解得 X3=— 5.2 , y3= 1.2 , ••• F3( — 5.2 , 1.2).

•••点P4与R关于点C成中心对称，且 q — 1, 0),

—・52 + X4 =— 1

2

= o

2

解得 X4= 3.2 , y4=— 1.2 , • R(3.2 , — 1.2).

同理可得 F5( — 1.2 , 3.2) T P6( — 2, 1) T P7(0，— 1) TF8 (2, 3).

(3)T P(o,— 1) T P2(2 , 3) T R( — 5.2 , 1.2). T P4(3.2 , — 1.2) T R( — 1.2 , 3.2) T R( — 2, 1) T R(0 ,— 1) TR(2, 3 )…

• R的坐标和P的坐标相同，R的坐标和R的坐标相同，即坐标以 6为周期循环, •/2012- 6= 335……2 ,

• Ro12的坐标与 R的坐标相同，为 P2012 (2 , 3); .................................................................. 8分

在X轴上与点Ro12、点C构成等腰三角形的点的坐标为 (—3 2 — 1,0 ), (2,0 ), ( 3 2 — 1,0 ), ( 5,0 ) .

12 分